Френкель А. О диагональном методе Кантора

Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. №5. 2003. С. 62-67.

А. Френкель

О ДИАГОНАЛЬНОМ МЕТОДЕ КАНТОРА[*]

Когда первый и единственный математический журнал, полностью посвященный теории множеств и ее приложениям, историей которого математики Польши могут законно гордиться, будет вскоре отмечать выход своего 25-го тома, это будет, возможно, подходящим случаем для того, чтобы наряду с новыми исследованиями обратиться к общему и принципиальному вопросу. Особенно если речь идет о проблеме, которая большинством ученых, работающих в области теории множеств, и почти всеми ее противниками рассматривается в качестве центрального пункта при построении теории множеств и обосновании актуальной бесконечности: речь идет о диагональном методе, который Кантор применил для доказательства неравенства 2^т > т (мощность множества-степени), т.е., в частности, для доказательства несчетности континуума [1].

В последнее время на диагональный метод был предпринят целый ряд атак со стороны ученых, которые изображают его как метод, не имеющий никакого значения либо же обоснования, и тем самым (я полагаю, вполне закономерно) объявляют теорию множеств потрясенной в самих своих основах. В рядах атакующих находятся и такие фигуры, после выступления которых непросто перейти к следующему вопросу повестки дня, среди них, например, известный физик из Гарвардского университета П.У. Бриджмен [2], знаменитый также своими работами в области теории познания. Именно замечания Бриджмена, которые не могут быть просто названы «интуиционистской критикой», и послужили поводом для настоящей заметки.

Противоположность между «классическим» и «интуиционистским» подходами следует вынести за скобки; уже поэтому, а также и в целях упрощения мы рассмотрим только самый частный случай, а именно доказательство несчетности континуума. Я здесь не буду останавливаться на других критических моментах, содержащихся в статье Бриджмена; отчасти они (касательно, например, доказательства существования иррациональных чисел, анализа некоторых парадоксов, возможных применений теории множеств и т.п.) основаны на недоразумениях.

1. Вместо негативного утверждения «континуум является несчетным множеством» я избираю позитивную формулировку:

(D) Для каждого заданного (эффективно) счетного множества действительных чисел существуют новые действительные числа, которые не принадлежат этому множеству. В случае с множеством-спепенью аналогичная формулировка звучит следующим образом: Если т есть некоторое множество, а М — некоторое (эффективно) эквивалентное множеству т, множество подмножеств множества т, то существуют подмножества множества т, которые М не принадлежат.

При такой формулировке совершенно не принимается во внимание вопрос, который для интуиционистов сам по себе является спорным: представляет ли собой континуум «множество» и что такого рода высказывание означает? С другой стороны, для того, кто признает континуум в качестве множества, формулировка (D) равнозначна утверждению, что «континуум (множество всех действительных чисел) является несчетным», как это тотчас же следует по элементарному логическому правилу (А → В) →(~В → ~А).

Вспомним обычное доказательство утверждения (D), которое не нуждается ни в каких непрямых способах рассуждения. Поскольку легко можно указать эффективное отображение между точками прямой и точками какого-нибудь конечного интервала, достаточно ограничиться рассмотрением точек или абсцисс некоторого интервала (например, 0, 1). (Этот шаг является несущественным и без него можно обойтись.)

Далее, мы представляем действительные числа из данного множества как n-адические систематические дроби [systematische Bruche] (например, десятичные дроби), причем натуральное число п берется > 1, и даже, если мы хотим избежать определенных небольших неудобств при доказательстве, > 2. Кроме того, чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и систематическими дробями, мы выбираем для каждого числа, допускающего два разных способа представления посредством систематических дробей, какое-то определенное представление, например такое, что соответствующая систематическая дробь всегда является непрерывной (и имеет в таком случае период п — 1). Против этого шага, а именно против оперирования с непрерывными систематическими дробями выдвигается следующее возражение: «"Непрерывные" — это, очевидно, лишь вежливый способ выражения для "бесконечных", а такие объекты не являются вещами вроде яблок, поскольку никто не может представить мне такой объект, для которого я мог бы найти подходящее место... Операции, используемые при построении непрерывной десятичной дроби, не могут быть завершены, так что незаконно постулировать выполнение других операций, которые предполагается осуществлять далее, после невозможного завершения построения непрерывной десятичной дроби». Здесь мы имеем дело с недоразумением, которое вызвано использованием общепринятого сокращенного способа выражения. Конечно, часто (а для иррациональных чисел, как правило) невозможно обозреть всю последовательность цифр в данном представлении некоторого действительного числа, и в этом отношении операция разложения, разумеется, не может быть «завершена». Однако этого для осуществления доказательства вовсе и не требуется; важно только то, чтобы для каждого данного действительного числа имелся закон, который позволял бы продолжать его разложение сколь угодно долго, а это в любом случае выполняется, поскольку числа исходного счетного множества должны быть даны (и, таким образом, например по величине, сравнимы с рациональными числами), как это, к примеру, выполняется для числа π, хотя мы также и здесь не в состоянии обозреть последовательность цифр в его, скажем, десятичном разложении. Рассмотрение «всех возможных правил», которые могут использоваться при построении непрерывных систематических дробей, является, таким образом, излишним, и в результате отпадают возражения, правомерно выдвигаемые против совокупности этих правил; для каждого данного действительного числа можно однозначно указать некоторое правило его разложения в некоторую непрерывную n-ичную дробь.

Далее, мы мысленно упорядочиваем наши систематические дроби или же законы, которые их определяют, в некоторую последовательность, что в силу предположенной счетности данного множества является допустимым. Затем следует последний шаг, образование диагональной n-ичной дроби: формулировка определенного правила (или нескольких таких правил), по которому произвольная, скажем, r-тая цифра диагональной дроби является отличной от нуля и от r-той цифры r-той n-ичной дроби нашей последовательности. Это правило может звучать, например, следующим образом: если значение r для r-той цифры r-той n-ичной дроби равняется 1, то r-тая цифра диагональной дроби равняется 2; для всех других r пусть r-тая цифра диагональной дроби равняется 1.

Основное возражение, которое здесь выдвигается, выглядит примерно так: поскольку непрерывная n-ичная дробь, или же бесконечная последовательность, является только сокращенным выражением для возможности продвигаться на произвольное, но все же конечное число шагов и не представляет никакого готового целого, то тогда данное доказательство могло бы выражать только возможность указать для произвольного r некоторую, до r-того шага продолжающуюся n-ичную дробь, которая в каждом шаге отличается от r данных дробей, которые продолжаются в точности до того же самого шага. Это, однако, ничего нам не дает, ибо: «Теорема утверждала бы тогда, что невозможно указать никакой схемы для расположения всех возможных десятичных дробей из r цифр в определенном порядке, где r никак не ограничена по величине. Но такая теорема, очевидно, является ложной, поскольку существует не более чем 10^r возможных десятичных дробей из r цифр, так что... я могу сформулировать схему, при которой любая возможная десятичная дробь, включающая r цифр, соответствовала бы некоторому числу, меньшему чем 10^r. ...Я полагаю, что обычный диагональный метод основан на явном смешении понимания десятичной дроби как процедуры и как заданного объекта... Вообще-то мне трудно понять, как такого рода ситуация может продолжать сохраняться в математике. Несомненно, данная путаница связана с понятием существования; предполагается, что десятичные дроби "существуют", неважно, могут ли они быть актуально построены и предъявлены, или нет».

Теперь легко показать, что все эти замечания базируются на недоразумениях, причиной появления которых является использование обычного для математиков сокращенного способа выражения. Выше мы истолковали n-ичные дроби как вычислительные инструкции, которые для каждого действительного числа данной последовательности позволяют образовать ее n-ичное разложение с какой угодно степенью точности. Именно из этого истолкования мы и должны исходить при рассмотрении конструируемой диагональной дроби. Последняя является определенной, а именно непрерывной (а не просто сколь угодно поздно обрываемой) n-ичной дробью, как только сформулирован некоторый закон, который позволяет вычислить ее цифры с какой угодно степенью точности. В приведенном выше правиле (конец предпоследнего абзаца) заложен, однако, следующий закон: для каждого индекса r, вплоть до какой угодно границы, мы можем прежде всего вычислить r-тую n-ичную дробь нашей последовательности вплоть до r-того места и в результате вычислить это r-тое место данной диагональной дроби. Таким образом, эта диагональная дробь строится как нечто в определенном смысле готовое, а именно мы имеем закон ее построения. Мы можем записать эту дробь, как нам будет угодно и совершенно без всякого произвола, так далеко, как мы этого хотим, точно так же, как и разложение числа π. Тем самым утверждение (D) может быть безупречно доказано с любой касающейся вопросов обоснования математики точки зрения, включая убежденный финитизм. Различия в трактовках могут иметь место только относительно понятия «данное (эффективно) счетное множество действительных чисел». Здесь у нас нет возможности подробно останавливаться на этих различиях, которые затрагивают как понятие действительного числа, так и понятие счетности; впрочем, они прояснятся сами собой при рассмотрении в § 2 одного простого частного случая.

2. Роль, которую диагональный метод играет при доказательстве существования трансцендентных чисел, служит особым источником различных недоразумений. Некоторые авторы оспаривают значение диагонального метода в этом отношении, поскольку, по их мнению, с его помощью нельзя для некоторого «заданного» (например, посредством десятичной или обыкновенной дроби или же посредством некоторого определенного интеграла и т.д.) действительного числа решить, является оно алгебраическим или трансцендентным. Эти авторы ломятся в открытую дверь, ведь диагональный метод никогда и не претендовал на такого рода достижение. По-другому обстоит дело со следующими возражениями: доказательство существования трансцендентных чисел посредством диагонального метода является якобы чисто абстрактно-экзистенциальным по своей природе, которая [определяет] встречающуюся в рассматриваемом доказательстве совокупность алгебраических чисел, причем незаконченную, мыслимую незавершенной совокупность, и в конце концов доказательство якобы не достигает своей цели, ибо «простой акт приписывания операционного значения трансцендентным числам сам по себе гарантирует их счетность» [3]. Обоих этих аргументов хватило бы, в частности, для того чтобы обесценить доказательство существования трансцендентных чисел с интуиционистской точки зрения, которая признает только конструкции и не признает никаких доказательств существования.

В противоположность этому следует подчеркнуть: доказательство существования трансцендентных чисел посредством диагонального метода осуществляется строго конструктивным образом, и он является осмысленным и сохраняет свою доказывающую силу с любой (также и интуиционистской) точки зрения, которая вообще признает осмысленными обычные правила упорядочения между алгебраическими и натуральными числами.

В самом деле, вернемся к рассмотренной выше трактовке, в соответствии с которой некоторое действительное число является заданным, причем, очевидно, конструктивно заданным — как только имеется некоторое правило, позволяющее осуществлять его десятичное разложение с какой угодно степенью точности. (Следуя привычному представлению и сохраняя привычный способ словоупотребления, примем здесь п = 10. Так же ради удобства ограничимся рассмотрением действительных алгебраических и трансцендентных чисел.) Пусть теперь нам дано некоторое (например, Канторово) упорядочивающее правило между алгебраическими и натуральными числами; для каждого алгебраического числа, которое задано посредством соответствующего несводимого алгебраического уравнения и, к примеру, дополнительного обозначения величин (среди конечного числа корней этого уравнения), можно по данному упорядочивающему правилу за конечное число шагов установить номер его места, а с другой стороны, можно вычислить его десятичное разложение с какой угодно степенью точности. Так, на r-том месте в десятичном разложении r-того алгебраического числа нашего пересчета находится вполне определенная, вычислимая цифра с_r между 0 и 9 включительно. Итак, если мы, как в § 1, будем строить некоторую определенную, шаг за шагом вычислимую десятичную дробь при помощи некоторого правила, которое r-тую цифру d определяет так, что она является отличной от c_r, то мы получаем некоторое действительное число, определенное конструктивно и отличное от каждого алгебраического числа. Тем самым мы построили совершенно определенное трансцендентное число, если даже последовательность цифр в его десятичном разложении и не является наглядно обозримой. То счетное множество, о котором шла речь в D (начало § 1), является здесь множеством алгебраических чисел.

Перевод Я. В. Шрамко

ПРИМЕЧАНИЯ

[1] Здесь достаточно сослаться на работу Кантора Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (Jahresb. Deutschen Math. Ver. 1 [1890/91], 75—78; Gesammelte Abhandlungen [Berlin 1932], 278—270) и отвлечься от его работы 1874 г., равно как и от более поздних применений диагонального метода, в частности Цермело и Серпинским.

[2] A physicist's second reaction to Mengehlehre. Scripts Mathematica 2 (1934), 101—117 и 224—234. Можно сослаться еще на одну работу, упоминаемую также и Бриджменом, но мало занимающуюся математическими вопросами, которая содержит острую критику диагонального метода: Bentley A.F. Linguistic analysis of mathematics (Bloomington, 1932); эта работа хотя и обнаруживает множество недоразумений, все же содержит примечательные идеи, побуждающие к дальнейшим размышлениям. (Критика диагонального метода, содержащаяся в книге Л. Фишера «Die Grundlagen der Philosophie und der Mathematik» (Leipzig, 1933) может быть оставлена без внимания, поскольку она основана на грубых заблуждениях.) Добавление, которое недавно сделал к работе Бриджмена У.М. Руст (Scr. M. 2, 334— 336), ни в коем случае не делает излишними излагаемые ниже соображения.

[3] Бриджмен Л. Указ. соч. С. 233. Имеется в виду, очевидно, что множества алгебраических и трансцендентных чисел являются счетными или же что обратное в любом случае не может быть доказано.